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なぜ「23人いれば同じ誕生日の人がいる確率は50%」なのか

実は41人いれば確率は90%
この問題は「誕生日の奇跡」と呼ばれ、数学の世界では有名な話だ。「そんなに高い確率になるの」と驚いた人も多かったであろう。

このように「少なくても2人の誕生日が同じ」という場合は、まず「誰も誕生日が一致しない確率」を計算し、起こりうるすべての確率である「1」から引く。その差が「少なくても2人は誕生日が同じ確率」となる。

いまいるのがAとBの2人とする。Aの誕生日は365日のどれでも構わない。一方のBがAの誕生日と違うためには、「365-1=364日」のどれかであればいい。つまり、AとBの誕生日が違う確率は「364÷365」で求められる。

次にCが加わって3人になったらどうなるか。Cが先の2人と違う誕生日ということは「365-2=363日」のどれかであり、その確率は「363÷365」。3人が同時に異なる誕生日である確率は、「364÷365」と「363÷365」を掛け合わせればよい。そして、その計算を人数が増えた分だけ繰り返し、最後に「1」から引けば、その人数で少なくても2人の誕生日が同じ確率になる。

ここで注目したいことは、人数が増えるほど、掛け合わせていく割り算の項の分子の数が小さくなる点である。つまり人数が増えるほど、誰も誕生日が一致しない確率は限りなく「0」に近づいていく。ということは、2人の誕生日が一致する確率は逆に「1」に向けて限りなく大きくなる。

そうやって実際に計算した結果が左のグラフである。確かに23人で50.7%になり、奇跡に思えた誕生日に関するこの問いは、確率として正しいことがわかる。人数がさらに増えると確率はぐんぐん高まり、41人目で90.3%に達する。

それでも腑に落ちないという人は、「自分と同じ誕生日の人が少なくても一人いる確率」と勘違いしているのかもしれない。この場合は「自分の誕生日と、自分以外のすべての人の誕生日が違う確率」を求め、先ほどと同じく最後に「1」から引く。

Aから見てBの誕生日が違うということは「365-1=364日」のどれかであればいい。また3人目のCも364日のどれかであればいい。つまり、自分と同じ誕生日の人がいる確率は「1-(364÷365)×(364÷365)……」を人数分繰り返して確率を求める。

先ほどと違って分子の数は減らずに「364」で変わらない。その割り算の値は「1」に近い。そうなると、その割り算をいくら掛け合わせても、自分以外のすべての人の誕生日が違う確率が小さくなっていくペースは遅くなる。つまり、自分と同じ誕生日の人が少なくても一人いる確率はなかなか大きくならない。23人のときの確率を計算すると5.8%。これは日常生活での感覚に近い数字ではないだろうか。

最後に「火星に生物がいる確率は100%近い」という確率のパラドックスを紹介しよう。仮に犬が火星にいる確率を「1万分の1」とすると、逆にいない確率は「1万分の9999」。同じく猫がいる確率が「1万分の1」なら、やはりいない確率は「1万分の9999」。そうやって何かの生物がいない確率を膨大に掛け合わせ、最後に「1」から引くと、いくらでも100%に近づけられる。

しかし、どう考えてもおかしい。空気も水もなくて犬が住めない環境なら、猫やほかの生物だって住めない可能性が高いからである。そう、掛け算してはいけないケースで確率を掛け合わせるという決定的な失敗をおかしているのだ。
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コメント
この記事へのコメント
3Iq8W384
もげる!
俺の大事なイチモツが、
もげちまう!w
http://2v9Q94Q9.ybll.org/2v9Q94Q9/
2013/01/19(土) 19:18 | URL | イチモツオ #8sMbyVHc[ 編集]
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